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Conjunto de Mandelbrot

Imagem do Conjunto de Mandelbrot obtida com o aplicativo iFractal.

Fonte: http://matimage.blogspot.com

Imagem do Conjunto de Mandelbrot obtida com o aplicativo iFractal.

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$Foto do Professor Benoit Mandelbrot - nascido em 21/11/1924 na Polônia "Em 1905, o matemático francês Pierre Fatou descobre que certas equações formadas por números complexos podem ser representadas por figuras que possuem auto-similaridade, em várias escalas. Foram nomeadas como fractais. Apesar de Pierre ter descoberto estas características, nunca pode ver estas figuras, pois na sua época não existia poder computacional suficiente para realizar os cálculos que ilustrariam a figura. Foi em 1975 então que o professor Benoit Mandelbrot populariza os fractais com um livro, que ilustrava os primeiros fractais a serem vistos. Mandelbrot foi a primeira pessoa que ilustrou os fractais, por isso estes foram nomeados fractais de Mandelbrot." Fonte: BORTOLÁS, Augusto Ordobás. Mandelbrot. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Instituto de Informática PPGC. Disponível em <http://www.inf.ufrgs.br/procpar/disc/cmp134/trabs/T2/051/aobortolas/rel.pdf> Acesso em out. 2007.$
$Hoje existem diferentes definições para o termo "fractal". Contudo, todas estão fundadas pela noção introduzida, primeiramente, por Benoît Mandelbrot. Segundo ele, a palavra "fractal" foi cunhada a partir do adjetivo em latim "fractus", que pode significar tanto "quebrado", "partido", como também "irregular". Os fractais são constituídos por formas geométricas abstratas formadas a partir de padrões complexos repetidos infinitamente, mesmo limitados por uma área finita. Esses padrões são gerados a partir de funções reais ou complexas que, aplicadas de forma interativa, produzem resultados impressionantes, considerados por muitos de uma beleza incrível. Além de apresentarem características comuns como a auto-semelhança, a dimensionalidade e a complexidade infinita, Mandelbrot constatou também uma curiosa e interessante relação entre os fractais e elementos encontrados na natureza. Com esta imagem, de um tipo de brócolis romanesco no qual cada parte é uma cópia do todo, o Professor pode mostrar a presença de elementos fractais na natureza por meio de uma de suas principais propriedades: a repetitividade.$
$Foto de um cartão fractal construído por meio de dobradura e recorte.$
$Foto de um cartão fractal visto de lado.$
$Foto de um cartão fractal construído por meio de dobradura e recorte.$
$Foto de uma folha de papel dobrada ao meio com as marcações para obtenção de um cartão fractal. Outras imagens do processo de obtenção do cartão fractal estão disponíveis nesta página.$
$Foto de uma folha de papel com as marcações para obtenção de um cartão fractal por dobradura. Outras imagens do processo de obtenção do cartão fractal estão disponíveis nesta página.$
$Planificação de um cartão fractal visto de lado. Imagens do processo de obtenção do cartão fractal estão disponíveis nesta página.$
$Foto de um cartão fractal construído por meio de dobradura.$
$O conjunto de Julia é um fractal criado pela primeira vez pelo matemático francês Gaston Julia. O conjunto foi então esquecido até Benoît Mandelbrot, que foi ensinado por Julia nos anos 1940, fez um trabalho sobre esse fractal no início de 1980.$
$Imagem do cubo de Sierpinski, também conhecido como esponja de Mengue. Trata-se de um cubo fractal. A regra para obtenção desta figura é: divida-se o cubo em 27 cubos iguais, e retenham-se 20 cubos, para que no final tenha uma cruz aberta no interior.$
$Imagens em que se podem observar características de objetos fractais como a autossimilaridade.$
$Estrutura fractal denominada "floco de neve de Koch".$
$Etapa inicial da construção da estrutura fractal denominada "floco de neve de Koch". Iteração 0.$
$Etapa da construção da estrutura fractal denominada "floco de neve de Koch". Iteração 1.$
$Etapa da construção da estrutura fractal denominada "floco de neve de Koch". Iteração 2.$
$Etapa da construção da estrutura fractal denominada "floco de neve de Koch". Iteração 3.$
$Etapa da construção da estrutura fractal denominada "floco de neve de Koch". Iteração 4.$
$Etapa da construção da estrutura fractal denominada "floco de neve de Koch". Iteração 5.$
$Etapa da construção da estrutura fractal denominada "floco de neve de Koch". Iteração 6.$
$Etapa da construção da estrutura fractal denominada "floco de neve de Koch". Iteração 8.$
$Foto de uma folha de papel dobrada ao meio. Primeira dobra para obtenção de um cartão fractal. Outras imagens do processo de obtenção do cartão fractal estão disponíveis nesta página.$
$Imagem em que se pode perceber um padrão se repetindo nos galhos secos das árvores. Útil para observar e provocar discussões sobre os conceitos de padrões e de fractais.$
$Hoje existem diferentes definições para o termo "fractal". Contudo, todas estão fundadas pela noção introduzida, primeiramente, por Benoît Mandelbrot. Segundo ele, a palavra "fractal" foi cunhada a partir do adjetivo em latim "fractus", que pode significar tanto "quebrado", "partido", como também "irregular". Os fractais são constituídos por formas geométricas abstratas formadas a partir de padrões complexos repetidos infinitamente, mesmo limitados por uma área finita. Esses padrões são gerados a partir de funções reais ou complexas que, aplicadas de forma interativa, produzem resultados impressionantes, considerados por muitos de uma beleza incrível, como nesta imagem.$
$Hoje existem diferentes definições para o termo "fractal". Contudo, todas estão fundadas pela noção introduzida, primeiramente, por Benoît Mandelbrot. Segundo ele, a palavra "fractal" foi cunhada a partir do adjetivo em latim "fractus", que pode significar tanto "quebrado", "partido", como também "irregular". Os fractais são constituídos por formas geométricas abstratas formadas a partir de padrões complexos repetidos infinitamente, mesmo limitados por uma área finita. Esses padrões são gerados a partir de funções reais ou complexas que, aplicadas de forma interativa, produzem resultados impressionantes, considerados por muitos de uma beleza incrível, como nesta imagem.$
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$Hoje existem diferentes definições para o termo "fractal". Contudo, todas estão fundadas pela noção introduzida, primeiramente, por Benoît Mandelbrot. Segundo ele, a palavra "fractal" foi cunhada a partir do adjetivo em latim "fractus", que pode significar tanto "quebrado", "partido", como também "irregular". Os fractais são constituídos por formas geométricas abstratas formadas a partir de padrões complexos repetidos infinitamente, mesmo limitados por uma área finita. Esses padrões são gerados a partir de funções reais ou complexas que, aplicadas de forma interativa, produzem resultados impressionantes, considerados por muitos de uma beleza incrível, como nesta imagem.$
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$Hoje existem diferentes definições para o termo "fractal". Contudo, todas estão fundadas pela noção introduzida, primeiramente, por Benoît Mandelbrot. Segundo ele, a palavra "fractal" foi cunhada a partir do adjetivo em latim "fractus", que pode significar tanto "quebrado", "partido", como também "irregular". Os fractais são constituídos por formas geométricas abstratas formadas a partir de padrões complexos repetidos infinitamente, mesmo limitados por uma área finita. Esses padrões são gerados a partir de funções reais ou complexas que, aplicadas de forma interativa, produzem resultados impressionantes, considerados por muitos de uma beleza incrível, como nesta imagem.$
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$Imagem de fractal gerada por computador.$
$Imagem de fractal gerada por computador.$
$Imagem de fractal gerada por computador.$
$Imagem de fractal gerada por computador. Útil para trabalhar geometrias não euclidianas.$
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$Imagem de fractal gerada por computador.$
$Foto de um híbrido de couve-flor. A característica de um híbrido é que é fruto de qualquer cruzamento em que os progenitores possuem genótipos diferentes. Em matemática esse vegetal pode ser usado para exemplificar a estrutura de um fractal, pois como nos fractais cada uma das partes desse híbrido se assemelha ao todo$
$Imagem de fractal gerada por computador. Útil para o trabalho com geometrias não euclidianas.$
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$Imagem de fractal gerada por computador. Útil para o trabalho com geometrias não euclidianas.$
$Imagem de fractal gerada por computador. Útil para o trabalho com geometrias não euclidianas.$
$"Waclaw Sierpinski (b 1882) deu seu nome a um grande número de objetos fractais. O triângulo de Sierpinski e o tapete de Sierpinski, tem como espaço subjacente o R2. A esponja e o tetraedro de Sierpinski tem como espaço subjacente tridimensional Para construir um triângulo de Sierpinski é extraída do triângulo original a cópia invertida central em meia escala dele mesmo e junta-se ao triângulo extraído aos pontos médios dos três lados do triângulo original. Três triângulos com lado igual a metade do anterior são criados e um quarto da área do triângulo original foi removida. Este processo é repetido para cada triângulo restante enquanto houver áreas não nulas." (EWITERER, 2005, p. 9) Fonte: EITERER, L. F. M. Uma abordagem fractal para localização de bloco de endereços em segmentação de envelopes postais. Dissertação (mestrado). PUC/PR, 2005. Disponível em http://www.ppgia.pucpr.br/teses/DissertacaoPPGIa-LuizFelipeEiterer-2005.pdf Acesso em out. 2007.$
$Nessa sequência de imagens pode-se observar o processo de retiradas sucessivas e similares de triângulos a partir de uma figura inicial. Seu uso didático permite compreender o processo de obtenção do Triângulo de Sierpinski, um triângulo fractal.$

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